文字入れ商品にオリジナルのイラストやロゴは入れられますか？

はい、可能です。
商品タイプによって入稿方法が異なりますので、それぞれご紹介いたします。

フレームアレンジ
ロゴの入稿方法はこちら。
写真・イラストの入稿方法はこちら。

フォトフレームアレンジ
購入ページにございます「カードのデザインをお選びください」項目にて「ご自身で用意」を選択ください。